指出，我们可以得到 n （ n-1 ）种结果，分别都包含了第一枪和最后一枪的名次（从命中靶心、勉强射中、到失误）。第一枪的名次可以有 n 种结果，最后一枪的名次可以有（ n-1 ）种结果。在这道题中， n=3 ，可能出现 6 种结果，分别对应上表中的 6 列。每一种结果都有同等的出现机会。假设，在除第一枪和最后一枪之外的（ n-2 ）枪中，好于第一枪的枪数为 ，（ n--2 ）不如第一枪。这样一来，上面提到的几种情况也就被删除了，于是我们得到如下结果：
· 第一枪的名次为 +1 ；最后一枪的名次位于不如（ +1 ）的（ n--1 ）中（即， n--1 种可能性）；
· 第一枪的名次为 +2 ；最后一枪的名次位于好于（ +2 ）的（ +1 ）中（即， +1 种可能性）。
总共有 n 种可能性，因此，第二种情况的概率为（ +1 ） /n 。由此可见，总的说来，我们可以得到一个“卡尔公式”。假设好于第一枪的枪数为 ，通过这个公式可以计算出最后一枪优于第一枪的概率：
（ +1 ） / n
在第一题中， =0 ， n=3 ，最后一枪好于第一枪的概率为 1/3 。如果多萝茜打了 2001 枪，其中 285 枪的成绩好于第一枪，她的第 2002 枪的成绩如何？ n=2002 ， =285 ，最后一枪好于第一枪的概率为 286/2002=1/7 。如果多萝茜打了 2002 枪，其中只有 1 枪的成绩好于第一枪， n=2002 ， =1 ，她的最后一枪好于第一枪的概率为 2/2002 。最后一枪的成绩好于第一枪的几率是否因为射击次数的增加而下降呢？</p>
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